3 راه حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر

فهرست مطالب:

3 راه حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر
3 راه حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر

تصویری: 3 راه حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر

تصویری: 3 راه حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر
تصویری: موفقیت : 7 قانون زندگی از کتاب جُردن پیترسون | ای کاش قبلا کسی این ها را به من گفته بود 2024, مارس
Anonim

در "سیستم معادلات" از شما خواسته می شود که دو یا چند معادله را همزمان حل کنید. وقتی این دو متغیر متفاوت مانند x و y یا a و b در خود داشته باشند ، در ابتدا می توان نحوه حل آنها را مشکل دانست. خوشبختانه هنگامی که می دانید باید چه کار کنید ، تنها چیزی که نیاز دارید مهارت های اولیه جبر (و گاهی اوقات برخی از دانش کسرها) برای حل مشکل است. اگر یادگیرنده بصری هستید یا معلم شما به آن نیاز دارد ، نحوه رسم معادلات را نیز بیاموزید. رسم نمودار می تواند برای "دیدن آنچه در حال انجام است" یا بررسی کار شما مفید باشد ، اما می تواند کندتر از روش های دیگر باشد و برای همه سیستم های معادلات خوب کار نمی کند.

مراحل

روش 1 از 3: استفاده از روش جایگزینی

حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 1
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 1

مرحله 1. متغیرها را به طرفهای مختلف معادله منتقل کنید

این روش "جایگزینی" با "حل x" (یا هر متغیر دیگر) در یکی از معادلات شروع می شود. به عنوان مثال ، فرض کنید معادلات شما هستند 4x + 2y = 8 و 5x + 3y = 9 به فقط با نگاه کردن به اولین معادله شروع کنید. با کم کردن 2y از هر طرف آن را مرتب کنید تا بدست آید: 4x = 8 - 2y.

این روش اغلب بعداً از کسرها استفاده می کند. اگر کسری را دوست ندارید ، می توانید روش حذف زیر را امتحان کنید

حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 2
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 2

مرحله 2. دو طرف معادله را به "برای x حل کنید" تقسیم کنید

" هنگامی که عبارت x (یا هر متغیری که استفاده می کنید) را در یک طرف معادله قرار دهید ، هر دو طرف معادله را تقسیم کنید تا متغیر به تنهایی بدست آید. مثلا:

  • 4x = 8 - 2y
  • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
  • x = 2 - ½y
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 3
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 3

مرحله 3. این را دوباره به معادله دیگر وصل کنید

مطمئن شوید که به معادله دیگر بازمی گردید ، نه معادله ای که قبلاً استفاده کرده اید. در آن معادله ، متغیری را که حل کرده اید جایگزین کنید تا فقط یک متغیر باقی بماند. مثلا:

  • تو می دانی که x = 2 - ½y.
  • معادله دوم شما ، که هنوز تغییر نداده اید ، این است 5x + 3y = 9.
  • در معادله دوم ، x را با "2 - ½y" جایگزین کنید: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 4
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 4

مرحله 4. برای متغیر باقی مانده حل کنید

اکنون معادله ای دارید که فقط یک متغیر دارد. برای حل آن متغیر از تکنیک های معمولی جبر استفاده کنید. اگر متغیرهای شما لغو شد ، به مرحله آخر بروید.

در غیر این صورت ، به یکی از متغیرهای خود پاسخ می دهید:

  • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (اگر این مرحله را درک نمی کنید ، نحوه اضافه کردن کسر را بیاموزید. این اغلب ، اما نه همیشه ، برای این روش ضروری است.)
  • 10 + ½y = 9
  • ½y = -1
  • y = -2
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 5
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 5

مرحله 5. برای حل متغیر دیگر از جواب استفاده کنید

اشتباه نکنید که مشکل را نیمه کاره رها کنید. شما باید پاسخی را که دریافت کرده اید به یکی از معادلات اصلی وصل کنید تا بتوانید متغیر دیگر را حل کنید:

  • تو می دانی که y = -2
  • یکی از معادلات اصلی این است 4x + 2y = 8 به (برای این مرحله می توانید از هر دو معادله استفاده کنید.)
  • -2 را به جای y وصل کنید: 4x + 2 (-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 6
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 6

مرحله 6. بدانید وقتی هر دو متغیر لغو می شوند چه باید بکنید

وقتی وصل می کنید x = 3y+2 یا یک پاسخ مشابه در معادله دیگر ، شما سعی می کنید معادله ای با تنها یک متغیر بدست آورید. گاهی اوقات ، در عوض با یک معادله بدون متغیر مواجه می شوید. کار خود را دوبار بررسی کنید و مطمئن شوید که معادله (بازآرایی شده) یک را به معادله دو وصل کرده اید ، نه اینکه فقط دوباره به معادله اول برگردید. اگر مطمئن هستید که هیچ اشتباهی نکرده اید ، یکی از نتایج زیر را دارید:

  • اگر به معادله ای برسید که هیچ متغیری ندارد و درست نیست (برای مثال ، 3 = 5) ، مشکل بدون راه حل به (اگر هر دو معادله را رسم کرده باشید ، می بینید که آنها موازی هستند و هرگز تلاقی نمی کنند.)
  • اگر به معادله ای بدون متغیرهای درست (مانند 3 = 3) برسید ، مشکل وجود دارد راه حل های بی نهایت به این دو معادله دقیقاً برابر یکدیگر هستند. (اگر دو معادله را رسم کنید ، می بینید که آنها یک خط هستند.)

روش 2 از 3: استفاده از روش حذف

حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 7
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 7

مرحله 1. متغیری را که لغو می شود پیدا کنید

گاهی اوقات ، هنگامی که معادلات را با هم جمع کنید ، معادلات "لغو" می کنند. به عنوان مثال ، هنگامی که معادلات را ترکیب می کنید 3x + 2y = 11 و 5x - 2y = 13 ، "+2y" و "-2y" یکدیگر را لغو می کنند و همه "y" ها از معادله حذف می شوند. به معادلات مشکل خود نگاه کنید و دریابید که آیا یکی از متغیرها به این شکل لغو می شود یا خیر. اگر هیچ کدام از آنها نمی خواهند ، مرحله بعدی را برای مشاوره بخوانید.

حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 8
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 8

مرحله 2. یک معادله را ضرب کنید تا یک متغیر لغو شود

(اگر متغیرها قبلاً لغو شدند این مرحله را رد کنید.) اگر معادلات متغیری ندارند که به طور طبیعی لغو شود ، یکی از معادلات را تغییر دهید. به سادگی می توان با یک مثال دنبال کرد:

  • شما سیستم معادلات را دارید 3x - y = 3 و - x + 2y = 4.
  • بیایید معادله اول را طوری تغییر دهیم که: y متغیر لغو می شود (شما می توانید انتخاب کنید ایکس در عوض ، و در پایان همان پاسخ را دریافت خواهید کرد.)
  • این - y در معادله اول باید با + 2y در معادله دوم ما می توانیم با ضرب این امر را محقق کنیم - y توسط 2
  • هر دو طرف معادله اول را در 2 ضرب کنید ، مانند این: 2 (3x - y) = 2 (3) ، بنابراین 6x - 2y = 6 به در حال حاضر - 2 سال با لغو می شود +2y در معادله دوم
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 9
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 9

مرحله 3. دو معادله را با هم ترکیب کنید

برای ترکیب دو معادله ، سمت چپ را با هم و ضلع های راست را با هم جمع کنید. اگر معادله خود را درست تنظیم کنید ، یکی از متغیرها باید لغو شود. در اینجا یک مثال با استفاده از معادلات مشابه در مرحله آخر آورده شده است:

  • معادلات شما هستند 6x - 2y = 6 و - x + 2y = 4.
  • سمت چپ را ترکیب کنید: 6x - 2y - x + 2y =؟
  • ضلع های سمت راست را با هم ترکیب کنید: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 10
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 10

مرحله 4. برای آخرین متغیر حل کنید

معادله ترکیبی را ساده کنید ، سپس برای حل آخرین متغیر از جبر پایه استفاده کنید. ' اگر پس از ساده سازی هیچ متغیری وجود ندارد ، به جای آن به آخرین مرحله در این بخش بروید.

در غیر این صورت ، باید با یک پاسخ ساده به یکی از متغیرهای خود پاسخ دهید. مثلا:

  • شما دارید 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  • گروه بندی کنید ایکس و y متغیرها با هم: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
  • ساده کردن: 5x = 10
  • برای x حل کنید: (5x)/5 = 10/5 ، بنابراین x = 2.
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 11
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 11

مرحله 5. برای متغیر دیگر حل کنید

شما یک متغیر پیدا کرده اید ، اما هنوز کار خود را به طور کامل انجام نداده اید. پاسخ خود را به یکی از معادلات اصلی وصل کنید تا بتوانید متغیر دیگر را حل کنید. مثلا:

  • تو می دانی که x = 2 ، و یکی از معادلات اصلی شما این است 3x - y = 3.
  • 2 را به جای x وصل کنید: 3 (2) - y = 3.
  • y را در معادله حل کنید: 6 - y = 3
  • 6 - y + y = 3 + y ، بنابراین 6 = 3 + y
  • 3 = y
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 12
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 12

مرحله 6. بدانید وقتی هر دو متغیر لغو می شوند چه باید بکنید

گاهی اوقات ، ترکیب این دو معادله منجر به معادله ای می شود که بی معنی است ، یا حداقل به حل مشکل کمک نمی کند. کار خود را از ابتدا دوباره بررسی کنید ، اما اگر اشتباه نکرده اید ، یکی از موارد زیر را به عنوان پاسخ خود بنویسید:

  • اگر معادله ترکیبی شما هیچ متغیری ندارد و درست نیست (مانند 7 = 2) ، وجود دارد بدون راه حل که روی هر دو معادله کار می کند (اگر هر دو معادله را نمودار کنید ، می بینید که آنها موازی هستند و هرگز متقاطع نیستند.)
  • اگر معادله ترکیبی شما هیچ متغیری ندارد و درست است (مانند 0 = 0) ، وجود دارد راه حل های بی نهایت به این دو معادله در واقع یکسان هستند. (اگر آنها را نمودار کنید ، خواهید دید که آنها یک خط هستند.)

روش 3 از 3: نمودار معادلات

حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 13
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 13

مرحله 1. فقط زمانی از این روش استفاده کنید که به شما گفته شود این کار را انجام دهید

مگر اینکه از رایانه یا ماشین حساب نمودار استفاده می کنید ، بسیاری از سیستم های معادلات فقط با استفاده از این روش تقریباً حل می شوند. ممکن است معلم یا کتاب درسی ریاضی شما از شما بخواهد که از این روش استفاده کنید تا با نمودار معادلات به صورت خط آشنا شوید. همچنین می توانید از این روش برای بررسی مجدد پاسخ های خود در یکی از روش های دیگر استفاده کنید.

ایده اصلی این است که هر دو معادله را نمودار کرده و نقطه تلاقی آنها را بیابید. مقادیر x و y در این نقطه مقدار x و مقدار y را در سیستم معادلات به ما می دهد

حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 14
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 14

مرحله 2. هر دو معادله را برای y حل کنید

با حفظ دو معادله ، از جبر برای تبدیل هر معادله به شکل "y = _x + _" استفاده کنید. مثلا:

  • اولین معادله شما این است 2x + y = 5 به این را به y = -2x + 5.
  • معادله دوم شما این است - 3x + 6y = 0 به این را به 6y = 3x + 0 ، سپس ساده سازی به y = ½x + 0.
  • اگر هر دو معادله یکسان باشند ، کل خط "تقاطع" خواهد بود. نوشتن راه حل های بی نهایت.
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 15
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 15

مرحله 3. ترسیم محورهای مختصات

روی یک تکه کاغذ نمودار ، یک "محور y" عمودی و یک "محور x" افقی بکشید. از نقطه تلاقی آنها شروع کنید ، اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 و غیره را بر روی محور y حرکت دهید و دوباره درست در محور x حرکت کنید. اعداد -1 ، -2 و غیره را که در محور y به سمت پایین و در محور x به سمت چپ حرکت می کنند ، برچسب بزنید.

  • اگر کاغذ گراف ندارید ، از خط کش برای اطمینان از فاصله دقیق اعداد استفاده کنید.
  • اگر از اعداد بزرگ یا اعشاری استفاده می کنید ، ممکن است لازم باشد نمودار خود را متفاوت تغییر دهید. (به عنوان مثال ، 10 ، 20 ، 30 یا 0.1 ، 0.2 ، 0.3 به جای 1 ، 2 ، 3).
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 16
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 16

مرحله 4. y-intercept را برای هر خط رسم کنید

هنگامی که معادله ای در فرم دارید y = _x + _ ، می توانید با رسم نقطه ای که خط محور y را قطع می کند ، نمودار آن را شروع کنید. این مقدار همیشه برابر y با آخرین عدد در این معادله خواهد بود.

  • در مثالهای قبلی ما ، یک خط (y = -2x + 5) محور y را در

    مرحله 5 به دیگری (y = ½x + 0) رهگیری در 0 به (اینها نقاط (0 ، 5) و (0 ، 0) روی نمودار است.)

  • در صورت امکان برای دو خط از قلم یا مداد رنگی مختلف استفاده کنید.
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 17
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 17

مرحله 5. برای ادامه خطوط از شیب استفاده کنید

در فرم y = _x + _ ، عدد مقابل x شیب خط است. هر بار که x یک افزایش می یابد ، مقدار y به میزان شیب افزایش می یابد. از این اطلاعات برای رسم نقطه روی نمودار برای هر خط زمانی که x = 1. استفاده کنید (متناوباً ، برای هر معادله x = 1 را وصل کنید و برای y حل کنید.)

  • در مثال ما ، خط y = -2x + 5 دارای شیب - 2 به در x = 1 ، خط 2 از نقطه در x = 0 حرکت می کند. بخش خط را بین (0 ، 5) و (1 ، 3) ترسیم کنید.
  • خط y = ½x + 0 دارای شیب ½ به در x = 1 ، خط ½ از نقطه در x = 0 حرکت می کند. بخش خط بین (0 ، 0) و (1 ، ½) را رسم کنید.
  • اگر خطوط شیب یکسانی داشته باشند ، خطوط هرگز تلاقی نخواهند کرد ، بنابراین هیچ پاسخی برای سیستم معادلات وجود ندارد. نوشتن بدون راه حل.
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 18
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 18

مرحله 6. رسم خطوط را تا زمانی که تلاقی می کنند ادامه دهید

بایستید و به نمودار خود نگاه کنید. اگر خطوط قبلاً عبور کرده اند ، به مرحله بعد بروید. در غیر این صورت ، بر اساس کار خطوط تصمیم بگیرید:

  • اگر خطوط به سمت یکدیگر حرکت می کنند ، نقاط را در آن جهت ترسیم کنید.
  • اگر خطوط از یکدیگر دور می شوند ، عقب بروید و نقاط را در جهت دیگر ترسیم کنید ، که از x = -1 شروع می شود.
  • اگر خطوط در هیچ کجای یکدیگر قرار ندارند ، سعی کنید جلو بروید و نقاط دورتر را ترسیم کنید ، مانند x = 10.
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 19
حل سیستمهای معادلات جبری شامل دو متغیر مرحله 19

مرحله 7. پاسخ را در تقاطع پیدا کنید

هنگامی که دو خط متقاطع شدند ، مقادیر x و y در آن نقطه پاسخگوی مشکل شما هستند. اگر خوش شانس باشید ، پاسخ یک عدد کامل خواهد بود. به عنوان مثال ، در مثالهای ما ، دو خط در یکدیگر قطع می شوند (2, 1) بنابراین پاسخ شما این است x = 2 و y = 1 به در برخی از سیستم های معادلات ، خطوط با مقداری بین دو عدد کامل قطع می شوند و اگر نمودار شما بسیار دقیق نباشد ، تشخیص اینکه این کجاست دشوار خواهد بود. اگر چنین شد ، می توانید پاسخی مانند "x بین 1 و 2" بنویسید ، یا از روش جایگزینی یا حذف برای یافتن پاسخ دقیق استفاده کنید.

ویدئو - با استفاده از این سرویس ، ممکن است برخی از اطلاعات با YouTube به اشتراک گذاشته شود

نکات

  • می توانید با اتصال مجدد پاسخ ها به معادلات اصلی ، کار خود را بررسی کنید. اگر معادلات درست (به عنوان مثال ، 3 = 3) باشد ، پاسخ شما درست است.
  • در روش حذف ، گاهی اوقات باید یک معادله را در یک عدد منفی ضرب کنید تا یک متغیر لغو شود.

هشدارها

در صورت وجود متغیری که به نمایی افزایش می یابد ، مانند x ، از این روش ها نمی توان استفاده کرد2به برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد معادلات از این نوع ، یک راهنما برای در نظر گرفتن درجه دو با دو متغیر جستجو کنید.

توصیه شده: